Diferenciales, aproximaciones y estimación de errores.
En cálculo, la diferencial representa un cambio en la lineación de una función. En los enfoques tradicionales para el calculo, las diferenciales (dx, dy, etc…) se interpretan como infinitesimales. Representa la parte principal del cambio en la lineación de una función: y = f(x) Con respecto a cambios en la variable independiente.
Un ejemplo aplicado a la vida cotidiana: Saber calcular hasta donde puede llegar un automóvil a una cierta velocidad tomando en cuenta cuanta gasolina gasta por kilómetro y cuanta gasolina gasta para llegar a su destino en una velocidad fija.
Una aproximación lineal es una aproximación de cualquier función derivable a otra función que se supone más sencilla que la anterior. Esto es cierto para valores de cercanos a . Se utiliza para cálculos aproximados de algunas raíces, logaritmos etc.
Haciendo uso de las diferenciales se puede calcular una aproximación como la de: 25.6 Datos f(x) = 𝑥 f’(x) = 1 2 𝑥 X0 = 25 Δ𝑥 = 0.6 Recurso f(x0 + Δ𝑥) ≈ f(x0) + f’(x0) Δ𝑥 Sustitución 25 + 0.6 ≈ 25 + 1 2 25 (0.6) 25.6 ≈ 5 + 0.6 2(5) 25.6 ≈ 5 + 0.3 5 25.6 ≈ 5 + 0.06 25.6 ≈ 5.06
Si x denota el valor medido de una variable y x + Δx representa el valor real, entonces Δx denota el error de medición. De esta manera, si el valor medido de x se utiliza en el cálculo de alguna otra magnitud f(x), entonces la diferencia que hay entre f(x + Δx) y f(x) se le conoce como error propagado. A la razón ER = Δ𝑦 𝑦 se le conoce como error relativo y es expresado mediante un porcentaje.
La arista de una pecera cubica mide 9.6cm con un posible error de 0.003cm. Determina el volumen de la pecera y proporciona una estimación del posible error. • Primero se tiene que sacar el volumen de dicha figura. • Ahora, el error propagado que tendrá el cálculo del volumen de la pecera lo podemos aproximar calculando el diferencial de la función. • El valor propagado se define como: • Teniendo ya el valor del volumen y del error de propagación, se pueden sustituir los valores en la fórmula: Δ𝑉 V ≈ 𝑑𝑉 𝑉 ≈ 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑎𝑔𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 ≈ Resultado • El resultado se representa en términos de porcentajes.
El cálculo diferencial e integral
El cálculo diferencial e integral es la matemática del cambio, de la variación, de la transformación.
El cálculo es la herramienta matemática apropiada para estudiar el movimiento de un objeto bajo la acción de una o varias fuerzas, o un fenómeno de crecimiento o decrecimiento.
Podemos hablar de dos partes muy vinculadas entre sí: el cálculo diferencial y el cálculo integral.
El cálculo diferencial estudia la forma y rapidez con que se producen los cambios, los valores que deben tomar ciertas variables para que los resultados sean óptimos, etc.
Aporta técnicas sencillas para el estudio de temas de fundamental importancia dentro de las distintas ramas de la matemática, física, química, economía, etc.
Por ejemplo:
· en geometría analítica; permite determinar las ecuaciones de la recta tangente y normal a una curva en un punto.
· en física; definir la velocidad instantánea y aceleración.
· en química; definir la velocidad de reacción.
· en economía; definir tasa de variación.
· Permite el cálculo de límites indeterminados.
· permite estudiar funciones mediante el cual podemos obtener sus gráficas.
· permite calcular errores.
El cálculo integral permite resolver el problema de determinar una función a partir de información sobre la rapidez con que cambia, calcular el área de la figura encerrada por una curva, determinar el trabajo realizado por una fuerza variable, hallar áreas, volúmenes, etc
Tipos de Errores
Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dado por:
E = P* - P
Error absoluto.
Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como:
EA = | P* - P |
Error relativo.
Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.
Y el error relativo como
ER = | P* - P| / P , si P =/ 0
El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:
ERP = ER x 100
Errores de Redondeo
Error de redondeo. La casi totalidad de los números reales requieren, para su representación decimal, de una infinidad de dígitos. En la práctica, para su manejo sólo debe considerarse un número finito de dígitos en su representación, procediéndose a su determinación mediante un adecuado redondeo.
Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes. Por ejemplo, si sólose guardan siete cifras significativas, la computadora puede alamcenar y usar "pi" como "pi" = 3.141592, omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo.
Ya que la mayor parte de las computadoras tiene entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porqué pueden resultar crítico en algunos métodos numéricos:
Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo.
El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.
Errores de Truncamiento
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Además para obtener conocimineto de las características de estos errores se regresa a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar Funciones en forma polinomial
Otros Tipos de Errores
Otros tipos de errores son el error humano que pueden ocurrir cuando se toman datos estadísticos o muestras, si estos datos son mal recopilados los errores al utilizarlos serán obvios. Cuando se calibran mal los equipos donde de harán lecturas de algunas propiedades de los compuestos o resultados de un experimentos. Cuando se desarrollan modelos matemáticos y estos son mal formulados y no describen correctamente el fenómeno o equipo en estudio. Todos los tipos de errores pueden contribuir a un error mayor, sin embargo el error numérico total, es la suma de los errores de truncamiento y redondeo.
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